分散とダウンスイングの数学

📊 ポーカーにおける分散とは？

分散（バリアンス）とは、あなたの真のウィンレートを中心とした結果の自然な変動を表す。ポジティブな期待値があっても、短期的な結果は期待から大きく外れることがある。

ポーカーでは、セッションごとの結果は確率変数だ。ウィンレート \(\mu\)（bb/100）、標準偏差 \(\sigma\)（bb/100）で \(n\) ハンドプレイした場合：

$$\text{総収支} \sim N\left(\frac{n \cdot \mu}{100},\ \frac{n \cdot \sigma^2}{100}\right)$$

\(n\) ハンドにわたる総収支の標準偏差は：

$$\text{SD}_{n} = \sigma \sqrt{\frac{n}{100}}$$

ゲームタイプ別の典型的な標準偏差

📏 信頼区間 — 結果が示すもの

信頼区間は、観測された結果から真のウィンレートがどの範囲にあるかを示す。

観測ウィンレート \(\hat{\mu}\)、標準偏差 \(\sigma\) で \(n\) ハンドのサンプルの場合：

$$\text{95\% CI} = \hat{\mu} \pm 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n/100}}$$

計算例

50,000ハンドで観測ウィンレート +4 bb/100、SD = 90 bb/100の場合。

$$\text{SE} = \frac{90}{\sqrt{50{,}000/100}} = \frac{90}{\sqrt{500}} = \frac{90}{22.4} \approx 4.02 \text{ bb/100}$$ $$\text{95\% CI} = 4 \pm 1.96 \times 4.02 = 4 \pm 7.88 = [-3.88,\ +11.88] \text{ bb/100}$$

50,000ハンドの時点では、95%の信頼度でウィニングプレイヤーであることすら確認できない！真のウィンレートは -3.9 から +11.9 bb/100 の間のどこかにある可能性がある。

ウィンレートを確認するには何ハンド必要か？

95%の信頼度で「プラスのウィンレートを持つプレイヤー」であることを確認するには：

$$n = \left(\frac{1.645 \times \sigma}{\hat{\mu}}\right)^2 \times 100$$

📉 ダウンスイングの確率計算

ウィニングプレイヤーが深刻なダウンスイングを経験する可能性はどのくらいか？計算してみよう。

\(n\) ハンドのどこかで少なくとも \(D\) BBのダウンスイングを経験する確率は近似的に：

$$P(\text{最大ドローダウン} \geq D) \approx 2 \cdot \Phi\left(\frac{-D + \mu \cdot n/100}{\sigma \sqrt{n/100}}\right)$$

\(\Phi\) は標準正規分布の累積分布関数。実用的な目的ではシミュレーション結果を使用：

ダウンスイング確率：5 bb/100ウィナー、SD = 100 bb/100

5 bb/100ウィナーがキャリア10万ハンドで500 bbのダウンスイングを経験する確率は52%。これは珍しいことではない — 予想される範囲内だ。

「破産」シナリオ

ウィンレート \(\mu\)、SD \(\sigma\)、バンクロール \(B\) bbのプレイヤーが破産する確率は近似的に：

$$P(\text{破産}) \approx e^{-2\mu B / \sigma^2}$$

\(\mu = 5\) bb/100、\(\sigma = 100\) bb/100、バンクロール \(B = 2000\) bb（20バイイン）の場合：

$$P(\text{破産}) \approx e^{-2 \times 0.05 \times 2000 / 100} = e^{-2} \approx 13.5\%$$

🧠 実践的なポイント

1. 5万ハンド未満では評価しない

5,000〜20,000ハンドの結果には、真のウィンレートについてのシグナルがほとんど含まれていない。この期間はプロセスと意思決定の質を評価するのに使い、結果で判断しないこと。

2. ダウンスイングを予期して計画する

500 bbのダウンスイングはウィニングプレイヤーにとって日常的なイベントだ。6マックスNLHEでは300〜500 bbのダウンスイングを感情的・財政的に事前に想定しておく。

3. 必要サンプル数の公式

真のウィンレートを95%信頼度で ±X bb/100 の精度で推定するには：

$$n = \left(\frac{1.96 \times \sigma}{X}\right)^2 \times 100$$

SD=100、X=3 bb/100の場合：\(n = (1.96 \times 100 / 3)^2 \times 100 \approx 426{,}000\) ハンド — ほとんどのプレイヤーが生涯かけてもプレイする量を超える。

4. チルトは分散の増幅装置

分散がチルトを引き起こすのではなく、分散への反応がチルトを引き起こす。ダウンスイングが不可避で予想の範囲内であることを数学的に理解することで、「自分の打ち方が悪いはず」という誤った思い込みを排除できる。